WWW.METODICHKA.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Методические указания, пособия
 


Pages:   || 2 | 3 | 4 |

«В.И. Паньженский ВВЕДЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ Учебное пособие Рекомендовано Государственным образовательным учреждением высшего профессионального образования Московский ...»

-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и науки РФ

Пензенский государственный педагогический университет

им.В.Г. Белинского

В.И. Паньженский

ВВЕДЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ

Учебное пособие

Рекомендовано Государственным образовательным учреждением

высшего профессионального образования

"Московский педагогический государственный университет"

в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по специальности 05 02 01 математика Пенза – 2008 Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического университета им. В.Г. Белинского УДК 513(0.76) ББК 22.15я73 Паньженский В.И. Введение в дифференциальную геометрию/ Учебное пособие для студентов, аспирантов и преподавателей педагогических вузов. – Пенза: Пензенский гос. пед. ун-т им. В.Г. Белинского, 2007 – 218с.

Учебное пособие представляет собой краткое введение в локальную дифференциальную геометрию. Оно включает в себя кроме традиционных вопросов теории кривых и поверхностей в евклидовом пространстве необходимый алгебраический материал по линейным пространствам и отображениям, общей топологии, а также содержит основные факты римановых, финслеровых, почти симплектических структур и их инфинитезимальных автоморфизмов.

Пособие предназначено для студентов, аспирантов и преподавателей математических специальностей университетов.

Научный редактор – доктор физико-математических наук, профессор И.В. Бойков Рецензенты: кафедра геометрии Московского педагогического государственного университета (зав. кафедрой доктор физикоматематических наук, профессор В.Ф. Кириченко); доктор физикоматематических наук, профессор МГУ им. М.В.Ломоносова Л.Е. Евтушик.

ISBN 5-94321-016-4 c Пензенский государственный педагогический университет им. В.Г. Белинского, 2008.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Глава I. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ.............7 §1. Линейные пространства

§2. Линейные и полилинейные формы

§3. Линейные отображения и операторы

§4. Тензоры. Операции над тензорами

§5. Внешние формы

§6. Тензорное произведение векторных пространств

§7. Евклидовы векторные пространства

§8. Симплектические векторные пространства

§9. Комплексные векторные пространства

§10. Эрмитовы векторные пространства

§11. Линейные алгебры

§12. Аффинные пространства

§13. Категории и функторы

Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ

Введение

§1. Топологические структуры, топологические пространства.

Открытые множества, окрестности. Внутренние, внешние и граничные точки. Топология, индуцированная метрикой

§2. Замкнутые множества. Операция замыкания. База топологии. Подпространства топологического пространства

§3. Отделимость, связность, компактность

§4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы. Вложения и погружения

§5. Понятие многообразия. Многообразия с краем. Операция склеивания

§6. Эйлерова характеристика. Теорема Эйлера для многогранников.

Классификация топологически правильных многогранников

Глава III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И

ПОВЕРХНОСТЕЙ

§1. Понятие гладкой кривой. Естественная параметризация

§2. Плоские кривые

§3. Пространственные кривые. Формулы Френе. Кривизна и кручение кривой

§4. Гладкие поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

§5. Первая квадратичная форма поверхности

§6. Вторая квадратичная форма поверхности

§7. Главные направления. Главные кривизны

§8. Полная и средняя кривизна поверхности

§9. Основные уравнения теории поверхностей

§10. Геодезическая кривизна кривой. Геодезические линии

§11. Полугеодезическая система координат. Экстремальное свойство геодезических

§12. Теорема Гаусса-Бонне

§13. Параллельное перенесение векторов на поверхности. Ковариантное дифференцирование

Глава IV. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ.............119 §1. Гладкие многообразия

§2. Касательное и кокасательное расслоения. Расслоение линейных реперов

§3. Векторные поля

§4. Дифференциальные формы

§5. Тензорные поля. Тензорные расслоения

§6. Производная Ли

§7. Группы Ли. Группы Ли преобразований

Глава V. НЕКОТОРЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ

СТРУКТУРЫ И ИХ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ АВТОМОРФЫЗМЫ...152

§1. Ковариантное дифференцирование

§2. Римановы метрики и связности

§3. Движения в римановых пространствах

§4. Уравнения Эйлера-Лагранжа

§5. Симплектические и почти симплектические структуры

§6. Инфинитезимальные автоморфизмы почти симплектических структур

§7. Финслеровы структуры

§8. Движения в финслеровых пространствах

Упражнения

Список литературы

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее пособие написано на основе лекций, прочитанных автором для студентов II курса (главы II, III) и IV курса (главы I, IV, V) физикоматематического факультета Пензенского государственного педагогического университета им. В.Г. Белинского. Вторая и третья главы "Элементы общей топологии" и "Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей" составляют обязательный семестровый курс, (4 семестр), предусмотренный государственным образовательным стандартом. Отводимые на этот курс аудиторные часы (2ч лекций + 2 ч практических занятий) не позволяют изложить материал, который обычно изучался достаточно детально в 70е-80е гг. Поэтому пришлось сократить до минимума содержание данного курса и опустить доказательства некоторых теорем.

Что касается первой главы "Линейные пространства и отображения содержащей необходимый алгебраический материал, и четвертой и пятой глав "Гладкие многообразия и отображения" и "Некоторые дифференциально геометрические структуры и их инфинитезимальные автоморфизмы то они включают материал, который автор читал на протяжении многих лет студентам IV курса и аспирантам в рамках спецкурсов и факультативных занятий. В силу специфики исследований автора более детально изложены вопросы, касающиеся групп преобразований и инфинитезимальных автоморфизмов римановых, финслеровых и почти симплектических структур.

Автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю признательность кафедре Московского педагогического государственного университета (заведующий кафедрой, профессор В.Ф. Кириченко) и профессору МГУ им. М.В. Ломоносова Л.Е. Евтушику за их ценные замечания по содержанию пособия, а также благодарность моим ученикам, доцентам М.В.Сорокиной и О.П.Суриной за помощь в издании данного пособия.

ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ

–  –  –

1. Множество V элементов произвольной природы называется линейным (векторным) пространством, а его элементы векторами, если определены операции сложения векторов и умножение вектора на число так, что выполняются следующие условия:

1) (u + v) + w = u + (v + w), для любых u, v, w V ;

2) существует нулевой вектор V такой, что v + = v для любого v V;

3) для любого вектора v V существует единственный противоположный ему вектор v такой, что v + (v) = ;

4) u + v = v + u для любых u, v V ;

5) (µ)v = (µv) для любых, µ R и любого v V ;

6) (u + v) = u + v для любого R и любых u, v V ;

7) ( + µ)v = v + µv для любых, µ R и любого v V ;

8) 1 · v = v для любого v V, где R поле действительных чисел. Заметим, что из 1)-4) следует, что множество V относительно операции сложения является абелевой группой.

2. Пусть e1, e2,..., en V, 1, 2,..., n R тогда вектор 1 e1 + 2 e2 + · · · + n en называется линейной комбинацией векторов e1, e2,..., en, а числа 1, 2,..., n ее коэффициентами. Совокупность всех линейных комбинаций называется линейной оболочкой данных векторов. Линейная комбинация 0 · e1 + 0 · e2 + · · · + 0 · en называется тривиальной. Тривиальная комбинация равна нулевому вектору. Если среди коэффициентов линейной комбинации есть хотя бы один отличный от нуля, то она называется нетривиальной.

Система векторов e1, e2,..., en называется линейно независимой, если из всех линейных комбинаций этой системы только тривиальная равна нулевому вектору. Это означает, что из равенства 1 e1 +2 e2 +· · ·+n en = следует, что 1 = 2 = · · · = n = 0. Если среди линейных комбинаций системы векторов есть хотя бы одна нетривиальная равная нулевому вектору, то система векторов называется линейно зависимой, т.е. найдутся числа 1, 2,..., n не все равные нулю такие, что 1 e1 + 2 e2 + · · · + n en =.

Линейно независимая система векторов {e1, e2,..., en } называется базисом векторного пространства V, если любой вектор v V является линейной комбинацией векторов этой системы

v = v 1 e1 + · · · + v n en. (1.1)

Коэффициенты v 1,..., v n называются координатами вектора v в данном базисе. В силу линейной независимости векторов базиса разложение (1.1) является единственным.

Если в векторном пространстве V существует базис, состоящий из n векторов, то оно называется конечномерным, а натуральное число n называется размерностью пространства V : dimV = n.

Подмножество W V называется подпространством векторного пространства, если оно является векторным пространством относительно операций, заданных на V. Это означает, что для u, v W u + v W и R, v W v W. Здесь и далее в тексте будут использоваться кванторы всеобщности и существования.

Часто различные вопросы приводят к рассмотрению множеств вида

v + W = {v + w|w W }

Такие множества иногда называют сдвигами подпространства W на вектор v V или классами смежности. Фактор-пространством V /W векторного пространства V по подпространству W называется множество всех сдвигов (классов смежности) подпространства W. Множество V /W является векторным пространством с естественными операциями сложения и умножения на число

–  –  –

Говорят, что векторное пространство V разлагается в прямую сумму подпространств V1 и V2 : V = V1 V2, если v V представим в виде v = v1 + v2, где v1 V1, v2 V2 и V1 V2 =. Если dimV1 = n1, dimV2 = n2, то n1 + n2 = n.

Пусть V1 и V2 векторные пространства. Построим векторное пространство V = V1 V2 внешнюю прямую сумму V1 и V2. Каждый элемент v V по определению есть формальная сумма элементов v1 V1, v2 V2 (т.е. элемент из V1 V2 ): v = v1 + v2. Если u = u1 + u2, то u + v = (u1 + v1 ) + (u2 + v2 ), v = v1 + v2. Если dimV1 = n1, dimV2 = n2 и {ei1 } и {ei2 } базисы в V1 и V2 соответственно, то векторы {ei = ei1 +, + ei2 } образуют базис в V и dimV = n = n1 + n2. Множества V1 {} и {} V2 являются подпространствами в V = V1 V2, которые изоморфны соответственно V1 и V2.

Если V1 и V2 векторные пространства, то их прямое произведение V1 V2 также является векторным пространством, причем (u1, u2 ) + (v1, v2 ) = (u1 + v1, u2 + v2 ), (u, v) = (u, v). Если dimV1 = n1, dimV2 = n2, {ei1 } – базис в V1 и {ei2 } – базис в V2, то {ei1, ei2 } – базис в V и dimV = n = n1 · n2.

Аналогично определяются прямая сумма и прямое произведение любого конечного числа векторных пространств.

3. В дальнейшем изложении мы будем использовать индексы при написании различных выражений, при этом будем следовать известному правилу суммирования, а именно, если в некотором выражении содержатся одинаковые индексы на разных уровнях, то по этим индексам предполагается суммирование. Так, например, совокупность векторов e1,..., en будем записывать в виде ei, систему чисел v 1,..., v n в виде v j, а разложение (1.1) в виде v = v k ek. Здесь i, j – свободные индексы, k – индекс суммирования.

Заметим, что обозначение свободных индексов должно быть унифицировано во всех членах соотношений, например y i = ci xs, (i – свободный индекс, s s– индекс суммирования, который может быть заменен на любой другой, отличный от i, например, на k и мы получим те же самые соотношения: y i = ci xk ). Если индексов много, то их обозначают одной буквой с подиндексами.

k Например, ai1 i2...is есть краткое обозначение системы ns величин. Если bj1 j2...js система величин, то

–  –  –

– единичная матрица. Другим известным символом является альтернатор j1...ik = ±1, если j1 j2... jk есть некоторая перестановка значений индексов i 1...jk

–  –  –

есть одинаковые а также, если среди значений i1 i2... ik есть такие, которых нет среди j1 j2... jk и наоборот). Заметим также, что при k = 1 альтернатор есть символ Кронекера.

Пусть A = (aij ) – квадратная nn-матрица. При n = 2 рассмотрим сумму

–  –  –

также, очевидно, являются базисом {ei } в пространстве V. Соотношения (1.2) называются формулами перехода от "старого" базиса {ei } к "новому" {ei }, а C = (ci )– матрицей перехода. Если i

–  –  –

Говорят, что формулы (1.4) есть формулы перехода от "новых"координат (v i ) к "старым" (v i ). Матрицы перехода в (1.2) и (1.4) являются транспонированными друг к другу. Если систему (1.2) разрешить относительно ei, а (1.4) разрешить относительно v i, то получим формулы перехода от "нового" базиса к "старому" и от "старых" координат к "новым"

–  –  –

для u, v V, R.

V Множество всех линейных форм само является векторным пространством, которое называется пространством дуальным к V.

Пространство V часто называют ковекторным, а его элементы ковекторами.

Сложение ковекторов и умножение на число определяются естественным образом:

(1 + 2 )(v) = 1 (v) + 2 (v); ()(v) = (v).

Нетрудно убедиться в справедливости свойств 1)-8) определения векторного пространства.

Пусть {ei } базис n-мерного векторного пространства V и v = v i ei – разложение произвольного вектора v V по векторам этого базиса. Найдем значение формы V на векторе v V

–  –  –

Таким образом, линейная форма на V это линейная функция координат произвольного вектора из V, i – координаты формы в базисе {ei }.

Если V – n-мерное векторное пространство, то V также является nмерным. Действительно, в пространстве V построим базис {ei } дуальный базису {ei } пространства V. По определению этот базис состоит из форм ei таких, что значение i-ой формы на векторе v равно i-ой координате вектора

v:

ei (v) = v i, (2.2)

–  –  –

т.е. любую форму можно разложить по формам базиса, а i – координаты формы в этом базисе.

В пространстве V возьмем базисы {ei }, {ei } и {ei }, {ei }– дуальные к ним базисы в пространстве V. Пусть

–  –  –

формулы преобразования координат формы. Очевидно, что множество всех r-форм на V является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на число:

–  –  –

где i1..

.ir – компоненты r-формы в данном базисе.

3. Пусть Sr группа подстановок из r элементов 1, 2,..., r. Определим действие группы Sr на векторном пространстве r-форм следующим образом:

для любой подстановки Sr и любой r-формы

–  –  –

Форма называется симметричной, если = для Sr и кососимметричной, если = sgn, где sgn – знак подстановки, который равен +1, если подстановка четная, и 1, если подстановка нечетная.

В пространстве r-форм действуют линейные операторы симметрирования Sym и альтернирования Al следующим образом

–  –  –

Действие группы Sr часто называют перестановкой индексов, а действия линейных операторов Sym и Al операциями симметрирования и альтернирования индексов. Операции симметрирования и альтернирования можно ввести по части индексов, при этом не участвующие индексы отделяются прямыми чертами, например,

–  –  –

для v V. Нетрудно убедиться, что так определенные f и f + g линейны и L(V, W ) векторное пространство.

Линейное отображение f : V W называется изоморфизмом, если f – биекция, т.е. взаимно однозначное отображение V на W. Если существует изоморфизм f :V W, то векторные пространства называются изоморфными.

Пусть f : V W – линейное отображение. Множество Kerf = {v V |f (v) = } называется ядром f, а множество Imf = {w W |v V, f (v) = w} называется образом f. Нетрудно убедиться, что ядро f является подпространством в V, а образ f подпространством в W.

Если V и W – конечномерные векторные пространства, dimV = n, dimW = m, {ei } – базис в V, {g } – базис в W, то определена матрица (fi ) линейного отображения f :

–  –  –

2. Пусть V – n-мерное векторное пространство, V – дуальное векторное пространство. Рассмотрим (V ) – пространство линейных форм на V.

Каждому вектору v V поставим в соответствие форму f на V такую, что значение f на V равно значению на v:

–  –  –

Построенное так отображение является каноническим изоморфизмом V и (V ) и обозначается через v. Вместо (v) будем писать (, v). Таким образом, мы имеем каноническое билинейное отображение V V R.

Канонический изоморфизм v : V (V ) можно теперь задать условием

–  –  –

C 1 F C Отображение F называют сопряженным посредством невырожденной матрицы С. Особую роль играют те функции матриц, которые не меняются при замене матрицы на сопряженную. Такие функции являются инвариантами линейных операторов. Так, если такая функция, то полагая (f ) = (F ) мы получим результат, зависящий лишь от f, но не от базиса, в котором оператор f представлен матрицей F.

Изоморфизм f : V V называется также линейным преобразованием векторного пространства V. Очевидно, что f линейное преобразование если, и только если, его матрица в координатном представлении (3.8) является невырожденной. Множество линейных преобразований пространства V образует группу, которая изоморфна группе невырожденных матриц GL(n, R) относительно умножения полной линейной группе. Заметим, что формулы (3.8) можно трактовать двояко: с одной стороны как координатное представление линейного преобразования в некотором базисе, с другой стороны, как формулы преобразования координат вектора при переходе от одного базиса к другому.

–  –  –

Тензорное произведение обладает следующими свойствами:

a) (T K) Q = T (K Q);

b) (T + K) Q = T Q + K Q;

c) T (K + Q) = T K + T Q;

d) (T ) K = T (K) = (T K).

В силу ассоциативности операции тензорного произведения можно определить тензорное произведение любого числа сомножителей.

Пусть {ei } – базис векторного пространства V, а {ej } – дуальный ему базис в V. Тогда система ns+r тензоров

–  –  –

образует базис тензорного пространства Trs V.

Система (4.4) линейно независима. Действительно, построим линейную комбинацию системы (4.4) и приравняем ее к нулевому тензору

–  –  –

есть координатное представление полилинейной формы в базисе {ei } исходного пространства V. Нетрудно убедиться, что при переходе к другому базису {ei } компоненты Tji11...jr полилинейной формы преобразуются по...is

–  –  –

1. Напомним, что полилинейная r-форма = (v1,..., vr ) на векторном пространстве V называется кососимметричной, если = sgn ·, где sgn – знак подстановки Sr из r элементов, который равен +1, если подстановка четная и 1, если подстановка нечетная. Кососимметричные формы называют также косыми или внешними. Число r называется степенью внешней формы. Векторное пространство всех внешних форм степени r обозначается r V.

Нетрудно доказать, что является косой тогда и только тогда, когда Al =. Очевидно, что косой является всякая форма, имеющая не менее двух аргументов (r 2) и кососимметричная по любой паре своих аргументов. Кроме того к числу внешних форм следует отнести линейные формы.

Пусть {ei } – базис векторного пространства V, {ei } – дуальный ему базис сопряженного пространства V, ei1 · · · eir базис пространства Tr0 V. Тогда

–  –  –

компоненты формы в данном базисе.

Если форма косая, то при перестановке местами любых ее двух аргументов она меняет знак. Следовательно, компоненты косой формы кососимметричны по любой паре индексов. Обратно, если в каком-либо базисе компоненты формы кососимметричны по любой паре индексов, то форма является косой. Поэтому, если у внешней формы какие-либо два аргумента совпадают, то форма равна нулю и если число аргументов r n, то она также равна нулю, т.е. равна нулю на любом наборе своих аргументов.

–  –  –

является линейно независимой (если ij ei ej = 0, то и ij ei ej = 0 и, следовательно, ij = 0) и поэтому образует базис в пространстве внешних 2-форм 2 V. Заметим, что имеет место также следующее разложение:

–  –  –

Равенство (5.14) выражает ассоциативное свойство внешнего произведения базисных форм. Ассоциативность имеет место и для внешнего произведения трех любых внешних форм d) (1 2 ) 3 = 1 (2 3 ).

Применяя индукцию, можно также доказать, что

–  –  –

Так как f – билинейное отображение, то g0 принимает нулевое значение на всех элементах вида (6.1) и на их линейных комбинациях, т.е. g0 аннулирует пространство W0 и, значит, определяет такое линейное отображение g : V V R, что f = g.

2. Рассмотрим более подробно строение тензорного произведения V V.

Его элементы K, R, S,... – тензоры, это классы смежности, т.е. сдвиги векторного подпространства W0 в пространстве W. Подпространство W0 является ядром отображения g0 : W R и служит нулевым элементом в факторпространстве W/W0, т.е. в V V. Его будем обозначать. Каждый тензор K V V получается из W0 сдвигом на некоторый вектор, w = 1 (u1, v1 ) + · · · + k (uk, vk ) из W :

–  –  –

Как обычно, каждый класс смежности K в W – элемент в V V – однозначно определяется некоторым своим представителем w W. Ясно, что w и w определяют один и тот же тензор тогда и только тогда, когда

–  –  –

где w0 – некоторый вектор из W0. Векторы w и w, связанные равенством (6.8), назовем равными. Тогда тензор K есть множество равных между собой векторов из W. Так как W0 подпространство, то отношение равенства векторов рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности, которое и факторизует W. Если K1 = w1 +

W0, K2 = w2 + W0, то их сумма определяется так:

–  –  –

для R. Итак V V является векторным пространством как факторпространство со стандартно определенными операциями сложения и умножения вектора на число.

Каноническое отображение, определенное нами на V V W, распространим на все W, поставив в соответствие каждому w W его класс смежности из V V. Ясно, что линейно на W, а на W0 равно. Поэтому, вычисляя значения на векторах (6.1) и учитывая, что (u, v) = u v, получим:

(u + u ) v = u v + u v,

–  –  –

Таким образом, каноническое отображение : V V V V является билинейным и, следовательно, в тензорном произведении скобки раскрываются по обычному правилу

–  –  –

3. Вернемся теперь к произвольной билинейной форме f : V V R.

Из определения (6.3) отображения g0 : W R следует, что отображение g : V V R на разложимых тензорах определяется формулой

–  –  –

Ясно, что построенное так по f отображение g является линейной формой на V V.

Обратно, если g – линейная форма на V V, то ей соответствует билинейная форма f на V :

–  –  –

Итак, мы установили естественное взаимнооднозначное соответствие между билинейными формами на V и линейными формами на V V, причем, как следует из (6.13), f = g. Кроме того, ясно, что это соответствие линейно, т.е. если билинейным формам f1 и f2 соответствуют линейные формы g1 и g2, то 1 f1 + 2 f2 соответствует 1 g1 + 2 g2.

Таким образом, построенное соответствие является изоморфизмом между векторным пространством T2 (V ) билинейных форм на V и векторным пространством (V V ) линейных форм на V V.

4. Пусть {ei } – базис n-мерного векторного пространства V. Покажем, что {ei ej } является базисом тензорного квадрата V V. Если u = ui ei, v = v j ej

– векторы в V, то в силу билинейности их тензорного произведения, имеем

–  –  –

Отсюда следует, что если K = K ij ei ej = 0, то K ij = 0, т.е. ei ej линейно независимы.

Итак, мы показали, что тензоры ei ej образуют базис и, следовательно, dimV V = n2. Попутно мы построили дуальный базис g ij в пространстве линейных форм (V V ) :

–  –  –

Таким образом, элементы тензорного произведения V V являются тензорами типа на векторном пространстве V.

5. В п.3 мы установили изоморфизм между T2 (V ) и (V V ). Оказывается,

–  –  –

Рассмотрим теперь T0 (V ). Его элементы – билинейные формы на V. Но между билинейными формами на V и линейными формами на V V имеется естественный изоморфизм. Значит T0 (V ) изоморфно (V V ), которое, как мы показали выше, изоморфно (V ) (V ) = V V. Итак,

–  –  –

6. В определении тензорного произведения мы нигде не использовали тот факт, что векторы u и v принадлежат одному и тому же векторному пространству. Поэтому мы можем практически дословно перенести определение тензорного произведения на случай двух и более различных векторных пространств. Кроме того, билинейные формы f : V V R можно заменять на полилинейные отображения f : V1 · · · Vr U, где U – некоторое векторное пространство. Дадим следующее определение.

Пусть V1,... Vr – векторные пространства. Как и ранее W – это свободное векторное пространство, образующими которого являются элементы из V1 · · · Vk, а W0 – подпространство в W, порожденное элементами вида

–  –  –

Тогда факторпространство W/W0 = V1 · · · Vr и называется тензорным произведением векторных пространств, а его элементы тензорами.

Определим каноническое полилинейное отображение

–  –  –

Тензор (6.26) называется тензорным произведением векторов (v1,..., vk ).

Тензоры вида (6.26) называются разложимыми и являются образующими элементами в V1 · · · Vr.

Пусть теперь f : V1 · · · Vr U полилинейное отображение. Определим отображение g0 : W U, полагая

–  –  –

7. Пусть fi : Vi Wi (i = 1, r) линейные отображения векторных пространств. Тогда отображение f : V1 · · · Vr U = W1 · · · Wr, переводящее вектор (v1,..., vr ) в вектор f (v1 ) · · · f (vr ), очевидно, полилинейно и, следовательно, определяет линейное отображение g = f1 · · · fr : V1 · · · Vr W1 · · · Wr, такое, что f = g. Отображение g на образующих элементах определяется формулой

–  –  –

Если fi являются изоморфизмами пространств Vi и Wi, то (f1 · · · fr ) также изоморфизм тензорных пространств V1 · · · Vr и W1 · · · Wr.

8. Мы уже видели, что элементы тензорных произведений V

–  –  –

При этом "классический" тензор на V мы интерпретировали как некоторую билинейную форму. Оказывается, что любой тензор на V можно рассматривать как элемент некоторого тензорного произведения.

Каждому тензору T Trs (V ) однозначно отвечает полилинейная форма f (v1,..., vr, 1,..., s ). Рассмотрим тензорное произведение

–  –  –

первые s множителей которого – пространство V, а последующие r – дуальное ему пространство V. Пусть g линейная функция на тензорном произведении (6.29). Ей отвечает полилинейная форма f от s векторов v V и r ковекторов

V :

–  –  –

Симметричная матрица G = (gij ) называется матрицей Грамма формы g в базисе {ei }. Форма g однозначно определяется заданием базиса {ei } и симметричной n n-матрицей G, так как

–  –  –

где C = (ci ), G = (gi j ).

i Векторы u и v называются перпендикулярными uv, если их скалярное произведение равно нулю: g(u, v) = 0. Подпространства V1 и V2 называются ортогональными, если g(v1, v2 ) = 0, для всех v1 V1, v2 V2.

Подпространство V0 называется изотропным, если ограничение g на V0 равно нулю: g(u, v) = 0, для всех u, v V0. Ядром скалярного произведения g называется множество всех векторов v V, ортогональных ко всем векторам пространства V. Скалярное произведение называется невырожденным, если его ядро состоит из нулевого вектора. Это означает, что если для некоторого вектора u и всех v g(u, v) = 0, то u =. Подпространство W называется невырожденным, если ограничение g на W невырождено. Скалярное произведение называется положительно определенным, если скалярный квадрат любого ненулевого вектора является положительным: g(v, v) 0, для v = и g(v, v) = 0, если v =.

2. Векторное пространство V называется евклидовым, если на V задано невырожденное скалярное произведение g. Если g является и положительно определенным, то V называется собственноевклидовым (или просто евклидовым), в противном случае псевдоевклидовым. Евклидово скалярное произведение g(u, v) будем обозначать через (u, v). Длиной v2, т.е. квадратный или нормой вектора v называется число |v| = корень из скалярного квадрата (v2 = (v, v)) вектора v. Если V собственноевклидово пространство, то (v, v) 0, для v = и норма вектора v является действительным положительным числом; нулевую длину имеет только нулевой вектор. Если V псевдоевклидово, то v2 может быть любым действительным числом, а норма v может быть положительным действительным числом, нулем, или комплексным числом.

Вектор v называется изотропным, если он имеет нулевую длину: |v| =

0. Множество всех изотропных векторов псевдоевклидова пространства называется изотропным конусом. Если |e| = 1 и, следовательно, e2 = 1, то вектор e называется единичным, если |e| = i – то мнимоединичным, в этом случае e2 = 1. Базис {ei } называется ортонормированным, если (ei, ej ) = ±ij, т.е. его векторы попарно ортогональны, а длина каждого вектора равна либо 1, либо i. Если пространство собственноевклидово, то все векторы ортонормированного базиса единичные, если псевдоевклидово, то некоторая их часть состоит из мнимоединичных векторов (обычно считается, что все они находятся в конце базиса). Если r – число единичных векторов, s – число мнимоединичных векторов базиса {ei }, то r + s = n и пара (r, s) определяет сигнатуру псевдоевклидова пространства, которая не зависит от выбора базиса (закон инерции Сильвестра). Известно, что в любом евклидовом пространстве существует бесконечное множество ортонормированных базисов (процесс ортогонализации Грамма-Шмидта). В любом таком базисе скалярное произведение и скалярный квадрат вектора

–  –  –

в случае псевдоевклидовых пространств. Если {ei } новый (ci ) является ортонормированный базис, то матрица перехода C = i ортогональной в собственноевклидовом случае и псевдоортогональной в случае псевдоевклидовых пространств. В первом случае det(C) = 1, во втором det(C) = ±1. Множество всех ортогональных матриц O(n) и множество всех псевдоортогональных матриц ПО(n) являются подгруппами группы GL(n, R) всех невырожденных n n-матриц.

Пусть (V1, g1 ) и (V2, g2 ) евклидовы векторные пространства. Изоморфизм f : V1 V2 называется изометрией, если для всех u1 и v1 из V1 выполняется равенство g2 (f (u1 ), f (v1 )) = g1 (u1, v1 ), т.е. значения скалярных произведений на соответствующих векторах одинаковы. Пространства V1 и V2 называются изометричными, если существует изометрия f : V1 V2. Множество всех изометрий V V образуют группу, которая называется группой изометрий (движений) евклидова пространства V. Она изоморфна либо O(n), либо ПО(n).

3. Метрический тензор евклидова векторного пространства V определяет изоморфизм : V V, который вектору u ставит в соответствие линейную форму = (u) такую, что (v) = g(u, v), для v V. Если {ei } базис в V и = j ej, u = ui ei, v = v j ej, то имеем i ei (v j ej ) = gij ui v j или j v j = gij ui v j и, в силу произвольности вектора v, получаем координатное представление изоморфизма i = gij uj. Часто форму обозначают той же буквой, что и вектор u, тогда в координатах примет вид

–  –  –

Поэтому изоморфизм называют операцией опускания индексов, а ui – ковариантными координатами вектора u.

Изоморфизм : V V индуцирует в V скалярное произведение, т.е.

билинейную форму g : V V R по формуле

–  –  –

и называется поднятием индексов.

4. Изоморфизм естественным образом продолжается до изоморфизма Tsr V Tp V, если r + s = p + q. При этом часть или все аргументы q полилинейной формы заменяются их -образами. Например, если дан тензор T T1 V, т.е. билинейная форма T = T (v, ), один аргумент которой вектор v, второй форма (ковектор), то ему можно поставить в соответствие тензор T = T (v, ()) T2 V. В координатах это означает, что мы опустили верхний индекс у тензора T :

–  –  –

5. Базисы {ei } и {ei } векторного пространства V называются одинаково ориентированными, если определитель матрицы перехода от одного базиса к другому больше нуля: det(ci ) 0. Множество всех базисов разбивается на i два класса одинаково ориентированных между собой базисов. Каждый такой класс называется ориентацией пространства V. Векторное пространство V называется ориентированным, если зафиксирована одна из двух его ориентаций. Чтобы задать ориентацию пространства V надо зафиксировать в нем какой-либо базис.

Пусть V – ориентированное векторное пространство, {ei } – базис, фиксирующий его ориентацию, gij – компоненты метрического тензора g в этом базисе. При замене базиса

–  –  –

не меняющей ориентацию пространства, компоненты gi j метрического тензора в базисе {ei } связаны с компонентами gij метрического тензора в базисе {ei } тензорным законом преобразования

–  –  –

§8. Симплектические векторные пространства

1. Пусть V – вещественное 2n-мерное векторное пространство, :

V V R невырожденная кососимметрическая билинейная форма на V. Каждая такая форма называется кососкалярным произведением или симплектической структурой на V. Векторное пространство V называется симплектическим, если на V задана симплектическая структура.

Замечание. Размерность векторного пространства необходимо должна быть четной, так как на нечетномерном пространстве любая внешняя 2форма является вырожденной.

Пусть {e }( = 1, 2n) базис симплектического пространства V и

–  –  –

Кососимметрическая невырожденная матрица || || называется матрицей Грамма формы в базисе {e }; =, det|| || = 0. Если u = u e, v = v e, то кососкалярное произведение векторов u и v примет вид

–  –  –

При замене базиса матрица компонент кососкалярного произведения изменяется также как и в случае скалярного произведения евклидова векторного пространства (формулы (7.4) и (7.5)) и остается кососимметрической.

Векторы u и v симплектического пространства V называются косоортогональными, если их кососкалярное произведение равно нулю:

(u, v) = 0. Заметим, что кососкалярный квадрат любого вектора равен нулю: (u, u) = 0, т.е каждый вектор сам себе косоортогонален и, следовательно, все векторы в симплектическом пространстве изотропны.

Пусть W – подпространство симплектического пространства V.

W Множество всех векторов, косоортогональных всем векторам пространства W является подпространством пространства V и называется косоортогональным дополнением к W. Если dimW = k, то dimW = 2n k и V = W W.

Подпространство W симплектического пространства V называется симплектическим, если ограничение на него симплектической структуры невырождено.

Подпространство W симплектического пространства V называется изотропным, если оно себе косоортогонально, т.е кососкалярное произведение любых двух векторов из W равно нулю. Если, в частности, dimW = n, то изотропное подпространство W называется лагранжевым.

–  –  –

Множество всех симплектических преобразований является группой, которая называется симплектической и обозначается Sp(2n, R). Так как кососкалярное произведение однозначно определяется своими значениями на базисных векторах, то преобразование f будет симплектическим, тогда и только тогда, когда оно симплектический базис переводит в симплектический. Отсюда следует, что для того чтобы преобразование f было симплектическим, необходимо и достаточно, чтобы его матрица F в симплектическом базисе удовлетворяла соотношению

F T IF = I, (8.9)

где F T – матрица транспонированная к F. Из (8.9) следует, что определитель матрицы любого симплектического преобразования равен ±1. Можно доказать, что detF = 1. Это означает, что группа симплектических преобразований является подгруппой эквиаффинной группы, сохраняющей элемент объема.

§9. Комплексные векторные пространства

1. До сих пор мы рассматривали лишь вещественные векторные пространства, для которых основное поле скаляров это поле действительных чисел R. Однако, все предыдущие построения: отображения, формы, тензоры и т.п. дословно переносятся на векторные пространства над полем комплексных чисел C. В этом случае векторное пространство называется комплексным.

Пусть V – комплексное векторное пространство. Сопряженным комплексным пространством V называется множество V с той же структурой аддитивной группы, но с новым умножением на скаляры из C:

–  –  –

где z = x + iy, z = x iy C, v V. Легко убедиться в справедливости аксиом 5)-8) определения векторного пространства.

Пусть V и V комплексные векторные пространства. Отображение f : V V называется полулинейным, если

–  –  –

который называется канонической комплексной структурой на R2n.

Обратно, пусть R2n – вещественное 2n-мерное векторное пространство, точками которого являются наборы чисел z = (x, y) = (x1,..., xn, y 1,..., y n ) и пусть J0 : R2n R2n линейный оператор канонической комплексной структуры, определенный формулой (9.3). Отображение (x, y) x + iy превращает R2n в n-мерное комплексное пространство Cn. Действительно, наличие канонической комплексной структуры позволяет определить умножение векторов из R2n на комплексные числа. Для a + bi C и z R2n

–  –  –

Пусть {e1,..., en, en+1,..., e2n } естественный базис в R2n, т.е. e1 = (1, 0,..., 0), e2 = (0, 1,..., 0),.... Оператор канонической комплексной структуры точку (xi ei, y i en+i ) переводит в точку (y i ei, xi en+i ) и, следовательно, базис {ei, en+i } в базис {en+i, ei } или в матричном виде

–  –  –

где E – единичная n n-матрица.

3. Пусть теперь V – произвольное n-мерное комплексное пространство.

Ограничив операцию умножения векторов на комплексные числа до чисел действительных, мы получим вещественное векторное пространство VR, которое называется овеществлением комплексного пространства V.

Если {ei } базис пространства V, то {ei, iei } базис в VR. Действительно, для v V имеем v = z k ek = (xk + iy k )ek = xk ek + y k (iek ), (9.6) т.е. {ei, iei } порождает VR. Кроме того из xk ek + y k (iek ) = 0 следует z k ek = 0 и, в силу линейной независимости ek, z k = 0, а значит, xk = y k = 0 и, следовательно, ek, iek линейно независимые векторы в VR. Отсюда следует, что dimVR = 2n.

Чтобы восстановить в VR умножение на комплексные числа и получить исходное V, достаточно задать оператор J : VR VR умножения на i

–  –  –

Пусть V – 2n-мерное вещественное векторное пространство. Комплексной структурой на V называется линейный оператор J : V V, удовлетворяющий условию J 2 = id (id – тождественный оператор).

Задание комплексной структуры превращает V в n-мерное комплексное пространство, при этом умножение векторов на комплексные числа определяется формулой (9.8). Если {ei } базис в комплексном векторном пространстве V, то {ei, J(ei )} базис в вещественном векторном пространстве V. Под действием оператора J базис {ei, J(ei )} перейдет в базис {J(ei ), ei }, поэтому матрица оператора почти комплексной структуры в таком базисе имеет канонический вид (9.5).

Заметим, что оператор J также определяет комплексную структуру, которая называется сопряженной с исходной, причем, если V – комплексное пространство, порожденное оператором J, то V – комплексное пространство, порожденное оператором J.

4. Пусть V и V – комплексные векторные пространства, dimV = n, dimV = m и пусть f : V V – комплексно-линейное отображение.

Рассмотрим его как вещественно-линейное отображение fR : VR VR. Если A + iB матрица отображения f : V V в базисах {ei } и {e }, то матрица овеществленного линейного отображения овеществленных пространств fR :

VR VR в базисах {ei, iei } и {e, ie } будет иметь вид

–  –  –

Такие матрицы, как легко проверить, перестановочны с матрицей (9.5) канонической комплексной структуры J0. Таким образом, представление GL(n, C) в GL(2n, R), называемое вещественным представлением для GL(n, C), задается так

–  –  –

где A и B – вещественные n n-матрицы.

5. Пусть V – вещественное векторное пространство, V V – внешняя прямая сумма двух экземпляров пространства V. Введем на V V комплексную структуру J следующим образом:

–  –  –

1. Пусть V – n-мерное комплексное пространство, V – сопряженное пространство. Скалярным произведением на V называется линейное отображение g : V V C, т.е. отображение g : V V C линейное по первому аргументу и полулинейное по второму:

–  –  –

Векторы u и v называются ортогональными uv, если их скалярное произведение равно нулю: g(u, v) = 0. Нетрудно проверить, что отношение ортогональности является симметричным. Эрмитово скалярное произведение называется невырожденным, если не существует ненулевого вектора ортогонального ко всем векторам пространства. В этом случае матрица скалярного произведения G является невырожденной.

Невырожденное эрмитово скалярное произведение естественным образом устанавливает изоморфизм V V с помощью которого осуществляется поднятие и опускание индексов у тензоров заданных на V. Положительно определенное эрмитово скалярное произведение g называется унитарным

–  –  –

2. Комплексное пространство V называется эрмитовым, если на V задано невырожденное эрмитово скалярное произведение g. Пространство V называется унитарным, если на V задано унитарное скалярное произведение.

Длиной или нормой вектора v называется число |v| = g(v, v). Длина вектора может быть как действительным, так и комплексным числом. Если V – унитарное пространство, то |v| 0 для v = 0. Также, как и в случае евклидовых пространств, можно доказать, что в n-мерном эрмитовом пространстве существует ортонормированный базис {ei }: g(ei, ej ) = ±ij.

Пусть V – унитарное пространство, {ei } – ортонормированный базис, u = ui ei, v = v j ej, ui, v j C. Тогда

–  –  –

В овеществленном пространстве VR имеется евклидово скалярное произведение, в котором норма |v| вектора v VR та же, что и норма (10.7) пространства V. Действительно, пусть {ei } – ортонормированный базис в V, тогда {ei, iei } базис в VR и

–  –  –

Но выражение справа в (10.8) есть квадрат нормы вектора v VR евклидова скалярного произведения в ортонормированном базисе {ei, iei }.

По этой причине многие свойства унитарных пространств близки к свойствам евклидовых пространств.

3. Пусть g – эрмитово скалярное произведение на комплексном векторном пространстве V. Положим g1 = Reg, g2 = Img. Тогда оказывается, g1 – симметричное, а g2 кососимметричное (симплектическое) скалярные произведения на VR. Оба они инвариантны относительно канонической комплексной структуры J0 v = iv на V :

–  –  –

Форма g является положительно определенной тогда и только тогда, когда g1 положительно определена. Обратно, пусть g1 и g2 – симметричная и кососимметричная формы на VR, инвариантные относительно канонической комплексной структуры J0, связанные соотношениями (10.10), тогда g = g1 + ig2 определяет эрмитово скалярное произведение на векторном комплексном пространстве V.

Если g – положительно определенное эрмитово скалярное произведение на n-мерном комплексном пространстве V и {ei } ортонормированный базис для g, то {ei, iei } является ортонормированным базисом для g1 и симплектическим для g2 вещественного векторного пространства VR. Базис {ei, en+i } называется симплектическим, если g2 (ei, en+i ) = g2 (en+i, ei ) = 1, а все остальные попарные скалярные произведения равны нулю.

Наоборот, если V – 2n-мерное вещественное векторное пространство с евклидовым скалярным произведением g1, симплектическим g2 и базисом {ei, en+i }, ортонормированным для g1 и симплектическим для g2, то скалярное произведение g = g1 + ig2 является эрмитовым скалярным произведением в n-мерном комплексном пространстве V, комплексная структура J которого определяется так: J(ei ) = en+i, J(en+i ) = ei.

4. Пусть V – 2n-мерное вещественное векторное пространство с комплексной структурой J и евклидовой метрикой g. Метрика g называется эрмитовой, если она инвариантна относительно J:

–  –  –

для v V, т.е. векторы v и Jv – ортогональны. Используя это, нетрудно убедиться, что в пространстве V существует ортонормированный базис вида {e1,..., en, J(e1 ),..., J(en )}.

К каждой эрмитовой метрике g можно присоединить симплектическую

–  –  –

Векторное пространство A называется алгеброй, если на A задана операция умножения – билинейное отображение A A A. Если a, b A, то их произведение будем обозначать через ab. Алгебра A называется конечномерной, если конечномерно исходное векторное пространство.

Алгебра A называется ассоциативной, если операция умножения является ассоциативной (ab)c = a(bc), (11.1)

–  –  –

заданного на A, который называется структурным.

Векторное подпространство B A называется подалгеброй, если для любых a и b из B их произведение ab также принадлежит B. Подалгебра B называется идеалом, если для любого a из A и любого b B ab B.

Пусть A и B – алгебры. Линейное отображение : A B называется гомоморфизмом алгебр, если для любых a и b из A (ab) = (a)(b). Если

– биекция, то называется изоморфизмом, а алгебры A и B изоморфными.

Изоморфизм : A A называется автоморфизмом.

Пусть A – алгебра с единицей. Градуировкой алгебры A называется счетное семейство {Ap }, p Z подпространств векторного пространства A, обладающее следующими свойствами

1) A – прямая сумма Ap : A = Ap ;

pZ

2) Ap Aq Ap+q, т.е. если ap Ap, aq Aq, то ap aq Ap+q.

Алгебра A называется градуированной алгеброй, если на A задана некоторая градуировка {Ap }.

Дифференцированием степени p (p – четное) алгебры A называется эндоморфизм d векторного пространства A, обладающий следующими свойствами:

1) dAq Aq+p ;

2)d(ab) = (da)b + a(db).

Антидифференцированием (косым дифференцированием) степени q (q – нечетное) алгебры A называется эндоморфизм d векторного пространства

A, обладающий следующими свойствами:

1) dAp Ap+q ;

2) если a Ap, то d(ab) = (da)b + (1)p a(db).

Алгебра A называется алгеброй Ли, если операция умножения удовлетворяет следующим условиям:

1) ab = ba;

т.е. умножение антикоммутативно и выполняется тождество Якоби 2) (ab)c + (bc)a + (ca)b = 0.

–  –  –

4. R(m1 ) – алгебра плюральных чисел, dimR(m1 ) = m. Базис алгебры составляют степени элемента, которые удовлетворяют соотношению m = 0, e1 = 0 = 1, e2 = 1 =, e3 = 2,..., em = m1. Например, для m = 3 таблица умножения выглядит следующим образом:



Pages:   || 2 | 3 | 4 |

Похожие работы:

«Научно-исследовательская лаборатория «Школа как развивающая система». Научный руководитель — доктор педагогических наук, профессор Л.А. Байкова, Почетный работник ВПО, действительный член Академии педагогических и социальных наук, действительный член Международной академии наук педагогического образования. Награждена почетным знаком «За заслуги перед Рязанской областью». Развивает научную школу гуманизации образования. В 2001 году защищена докторская диссертация «Теоретико-методологические...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОПРОСЫ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ: ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И МЕТОДИЧЕСКИЙ АСПЕКТЫ Сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции 30 июня 2015 г. Том 4 h t t p : / / u c o m. r u / c o n f Тамбов 2015 УДК 001.1 ББК 60 В74 Вопросы образования и науки: теоретический и методический аспекты: сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции 30 июня 2015 г. Том 4. Тамбов: ООО «Консалтинговая...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Елабужский государственный педагогический университет М.Ф. Гильмуллин ИсторИя математИкИ Елабуга Печатается по решению Редакционно-издательского совета Елабужского государственного педагогического университета. Протокол № 28 от 19.09.2008. УДК 51(091) ББК 22.1г Г 47 Рецензенты: Р.М. Зайниев, кандидат физ.-мат. наук, доцент; А.Ф. Кавиев, кандидат ист. наук, доцент. Гильмуллин М.Ф. История математики: Учебное пособие / М.Ф. Гильмуллин. —...»

«Министерство экологии и природных ресурсов Нижегородской области Нижегородский государственный педагогический университет имени Козьмы Минина Нижегородское отделение Союза охраны птиц России Экологический центр «Дронт» Исследовательская деятельность школьников в экологическом лагере Методическое пособие Авторы-составители – О.А. Некипелова, Н.Ю. Киселева Нижний Новгород УДК 502(07) ББК 20.1р2 И 888 Исследовательская деятельность школьников в экологическом лагере. Методическое пособие...»

«Методическая работа педагогического коллектива ГБОУ СПО «СТЛП» за 2012-2013 уч.год Наименование методической разработки Автор Методические рекомендации по выполнению Антипова Л.И. лабораторно-практических работ по дисциплине: «Гидравлические и пневматические системы» спец.151031 Методические рекомендации по выполнению Антипова Л.И. лабораторно-практических работ по дисциплине: «Организационные системы ППР» спец.151031 Методическая разработка практической работы по Гаврилова Л.К. дисциплине...»

«Центр дистанционного образования Международный Независимый Сетевой Образовательный Проект «НОВАКОНКУРС» Научно-методический журнал «МИР ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ» «АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ РАЗВИТИЯ СИСТЕМЫ ОБРАЗОВАНИЯ: ОПЫТ, ПРОБЛЕМЫ, ПУТИ РЕШЕНИЯ» Материалы V общероссийской заочной научно-практической конференции (1 ноября 2015 года) Российская Федерация, 2015 АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ РАЗВИТИЯ СИСТЕМЫ ОБРАЗОВАНИЯ: ОПЫТ, ПРОБЛЕМЫ, ПУТИ РЕШЕНИЯ Актуальные вопросы развития системы образования: опыт, проблемы, пути...»

«Приложение к Заявлению об участии в конкурсе на замещение должности научно-педагогического работника Сведения об участнике конкурса на замещение должности научно-педагогического работника ФИО (полностью) Бродский Александр Иосифович_ Должность, доля ставки профессор, 1,0 ставки Кафедра (подразделение) этики Дата объявления конкурса 15.05.2015 _ 1.Место работы в настоящее время СПбГУ, кафедра этики, профессор, 1,0 ставки 2.Ученая степень (с указанием научной специальности) доктор философских...»

«П ВГУ 2.0.13 – 2015 1. Область применения Настоящее Положение разработано в рамках поддержки научнопедагогических работников Воронежского государственного университета на период до 2020 года (далее – грантов Университета) в целях повышения престижа преподавательской работы, поддержки инновационного педагогического, научнометодического опыта и стимулирования активности по созданию основных образовательных программ международного уровня. Положение устанавливает условия, порядок организации и...»

«КАК ПОМОЧЬ РЕБЕНКУ НАУЧИТЬСЯ ЧИТАТЬ? Учебно-методическое пособие Под редакцией Т.В. Волосовец, Е.Н. Кутеповой Москва Российский университет дружбы народов ББК 88.844 К 16 Автор-составитель – кандидат педагогических наук, доцент Ю.А. Костенкова Под общим научным руководством кандидата педагогических наук, профессора Т.В. Волосовец, кандидата педагогических наук, доцента Е.Н. Кутеповой Подготовлено и опубликовано в рамках совместного проекта ЮНЕСКО и Российской Федерации «Содействие в...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ МАКСИМА ТАНКА» Ж. Э. Мазец, И.И. Жукова, Д.М. Суленко, Е.Р. Грицкевич У П БГ УЧЕБНО-ПОЛЕВАЯ ПРАКТИКА ПО ФИЗИОЛОГИИ РАСТЕНИЙ: Й РИ ПРАКТИКУМ ТО ЗИ О П РЕ Минск 2012 УДК 581.1 ББК М Печатается по решению редакционно-издательского совета БГПУ, Рекомендовано секцией естественных и сельскохозяйственных наук БГПУ (протокол № от ) Рецензенты: Кафедра физиологии и биохимии растений БГУ;...»

«Приложение к приказу ГАОУ ВО МГПУ «О методических рекомендациях по разработке и реализации программ дополнительного образования ГАОУ ВО МГПУ» № 675общ. от «22» июня_ 2015 г. ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ Государственное автономное образовательное учреждение высшего образования города Москвы «МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Методические рекомендации по разработке и реализации программ дополнительного образования Государственного автономного образовательного учреждения...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛЖСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, ПЕДАГОГИКИ И ПРАВА» «Волжский социально-педагогический колледж» Методические материалы и ФОС по дисциплине «Педагогика» Специальность _ «Преподавание в начальных классах» Методические материалы и ФОС утверждены на заседании ПЦК социально-гуманитарных дисциплин протокол № 9 от 16.02.2015 Составитель к.п.н., доц., доцент...»

«Министерство образования и науки Ульяновской области Ульяновский институт повышения квалификации и переподготовки работников образования Опыт лучших — в практику каждого План-график работы по продвижению педагогического опыта Ульяновск «Опыт лучших — в практику каждого»: План-график работы по продвижению педагогического опыта. — Ульяновск: УИПКПРО, 2015. — 92 с. Компьютерная верстка В.А. Плетнёва Подписано в печать 16.12. Формат 60x84 1/16 Бумага полиграфическая Тираж 100 экз. Гарнитура Times...»

«Муниципальное бюджетное учреждение дополнительного образования «Детско-юношеская спортивная школа №6»Принята на педагогическом совете «УТВЕРЖДАЮ» : МБУ ДО « ДЮСШ № 6» Директор Протокол № МБУ ДО « ДЮСШ № 6» от « » _ 2015 г. Утюпин А.П. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ОБЩЕРАЗВИВАЮЩАЯ ПРОГРАММА по хоккею (для спортивно-оздоровительных групп) Составители: Фатьянова Л.В. зам.директора по УВР Зубарева Т.В. – инструктор -методист Курган 2015 г. Содержание. Пояснительная записка. 1 1. Нормативная часть. 1.1. Прием...»

«ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО НАДЗОРУ В СФЕРЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ НАУЧНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ» Учебно-методические материалы для председателей и членов региональных предметных комиссий по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2015 года ОБЩЕСТВОЗНАНИЕ ЧАСТЬ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОЦЕНИВАНИЮ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ ЕГЭ С РАЗВЕРНУТЫМ ОТВЕТОМ Москва Авторы-составители: Лазебникова А.Ю.,...»

«ПРОБЛЕМА ИЗМЕНЕНИЯ КЛИМАТА И ЖИЗНЬ Пособие адресует ся педагогам и мет одист ам общего среднего и дополнит ельного образования, а т акже широкому кругу чит ат елей, инт ересующихся вопросами изменения климат а и проблемами формирования экологически целесообразного образа жизни. Данное пособие обобщает мат ериалы по проблеме изменения климат а и его последст вий на глобальном, национальном и региональном уровне. Приводят ся данные по климат ическим изменениям и их влиянию на природные экосист...»

«ФГОС ВОРАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПРАКТИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Психолого-педагогическая практика Направление: 44.03.05 – Педагогическое образование Уровень образования: бакалавриат Профильная направленность: Биология Безопасность жизнедеятельности Челябинск, 201 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Психолого-педагогическая практика Направление: 44.03.05 Педагогическое образование. Уровень образования: бакалавриат Профильная направленность: Биология Безопасность жизнедеятельности г.Челябинск, 201...»

«115114, Москва, ул. Кожевническая, д. 14 Телефон: +7 (495) 411-94-36 www.tehnoprogress.ru УТВЕРЖДАЮ Ректор АНО ДПО «ИПК ТЕХНОПРОГРЕСС» С.А. Шевченко «12» января 2015 г. Дополнительная профессиональная программа повышения квалификации «Маркшейдерское дело (маркшейдерия)» Москва, 2015 Оглавление 1.Основные характеристики образования..3 1.1. Цели и задачи образовательной программы..3 1.2. Организационно – педагогические условия..6 2.Учебный план программы..7 3. Учебно-тематический план...»

«Н. Б. ИСТОМИНА, З. Б. РЕДЬКО Е. С. НЕМКИНА, Н. Б. ТИХОНОВА УРОКИ МАТЕМАТИКИ 2 КЛАСС МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ Смоленск Ассоциация XXI век Metod-2kl-2014.indd 1 17.03.2014 14:54:44 УДК 373.167.1:51 51(075.3) ББК 22.1Я7125 У71 Авторы: Н. Б. Истомина, доктор педагогических наук, профессор кафедры начального образования и педагогических технологий Московского государственного гуманитарного университета им. М. А. Шолохова; З. Б. Редько, кандидат педагогических наук, доцент...»

«  Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова» Харьковский государственный педагогический университет имени Г.С. Сковороды Актюбинский региональный государственный университет имени К. Жубанова Центр научного сотрудничества «Интерактив плюс» Студенческая наука XXI века Сборник материалов VII Международной студенческой научно-практической конференции Чебоксары 2015   УДК 08:378...»







 
2016 www.metodichka.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Методички, методические указания, пособия»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.