WWW.METODICHKA.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Методические указания, пособия
 


«УЧЕБНИК ДЛЯ ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ С. Л. Атанасян, В. Г. Покровский, А. В. Ушаков ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие для вузов Допущено Учебно-методическим объединением по направлению «Педагогическое ...»

..,

..,..

УЧЕБНИК ДЛЯ ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ

С. Л. Атанасян,

В. Г. Покровский, А. В. Ушаков

ГЕОМЕТРИЯ

Учебное пособие

для вузов

Допущено

Учебно-методическим объединением

по направлению «Педагогическое образование»

Министерства образования и науки РФ

в качестве учебного пособия для высших учебных заведений,

ведущих подготовку по направлению 050100

«Педагогическое образование»

ЭЛЕКТРОННОЕ ИЗДАНИЕ

Москва БИНОМ. Лаборатория знаний УДК 514 ББК 22.1 А92 Атанасян С. Л.

А92 Геометрия 2 [Электронный ресурс] : учебное пособие для вузов / С. Л. Атанасян, В. Г. Покровский, А. В. Ушаков ; под ред. С. Л. Атанасяна. — Эл. изд. — Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf : 547 с.). — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. — Систем.

требования: Adobe Reader XI ; экран 10".

ISBN 978-5-9963-2876-5 В учебнике собран материал второй части единого курса геометрии, изучение которого необходимо будущему учителю математики для успешной работы со школьниками.

Изложение теоретического материала проиллюстрировано типовыми примерами.

Для студентов, аспирантов и преподавателей математических факультетов вузов.

УДК 514 ББК 22.1 Деривативное электронное издание на основе печатного аналога: Геометрия 2 : учебное пособие для вузов / С. Л. Атанасян, В. Г. Покровский, А. В. Ушаков ; под ред. С. Л. Атанасяна. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. — 544 с. :

ил. — ISBN 978-5-9963-0511-7.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации c БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015 ISBN 978-5-9963-2876-5

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.............................. 3 Часть I. Методы изображений Глава I. Свойства изображений.............. 7 § 1. Изображение плоских фигур при параллельном проектировании.................... 7 § 2. Изображение многогранников при параллельном проектировании.................... 16 § 3. Изображение цилиндра, конуса и шара..... 23 Глава II. Построение изображений............. 31 § 4. Аксонометрия..................... 31 § 5. Полные и неполные изображения. Сечения мно

–  –  –

Предлагаемое учебное пособие является продолжением пособия «Геометрия 1» авторов С. Л. Атанасяна и В. Г. Покровского. Оно соответствует программе, реализуемой кафедрой алгебры и геометрии и методики их преподавания Государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский городской педагогический университет» при обучении студентов по направлению «Педагогическое образование», профиль «Математика».

Пособие будет также полезно магистрантам, обучающимся по соответствующим программам магистратуры. В нем представлен материал заключительной части единого курса геометрии педагогического вуза. Оно крайне необходимо будущему учителю математики, так как помимо фундаментальных математических знаний и общематематической культуры, раскрывает перед студентами основы элементарной, школьной геометрии.

Пособие состоит из следующих частей: методы изображений, основания геометрии, проективная геометрия, элементы топологии и дифференциальной геометрии. Они достаточно независимы друг от друга и могут излагаться в любой последовательности. Однако авторы предлагают именно указанный порядок изучения, хотя он отличается от принятого в ставшем уже классическим пособии Л. С. Атанасяна и В. Т. Базылева [1]. Эта рекомендация основана на том соображении, что при четырехлетнем обучении бакалавров достаточно рано, уже на третьем году учебы, студенты выходят на педагогическую практику в школу.

Поэтому в первую очередь им следует освоить те разделы, которые крайне необходимы учителю, а именно методы изображений и основания геометрии.

4 Введение Части I–III подготовлены профессором С. Л. Атанасяном.

В части второй «Основания геометрии» глава V «Теория измерений» написана доцентом В. Г. Покровским. Часть IV подготовлена доцентом А. В. Ушаковым. Общая редакция профессора С. Л. Атанасяна.

ЧАСТЬ I

МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Задача изображения пространственных тел на плоском чертеже рассматривалась различными математиками еще с античных времен. Решение этой задачи крайне необходимо архитекторам, художникам, инженерам. Учитель математики при преподавании стереометрии изображает пространственные тела на классной доске. Самый простой способ решения такой задачи связан с параллельным проектированием трехмерного евклидова пространства на плоскость. Метод изображения пространственных тел с помощью параллельного проектирования является простым, но не всегда удобным для всех классов задач. Например, в живописи с его помощью нельзя получить художественное изображение пространственных тел, художники применяют гораздо более сложные способы изображения, используя так называемое центральное проектирование. Но в техническом черчении и в школьном преподавании этот метод весьма удобен и практичен.

Метод изображения пространственных фигур на чертеже с помощью параллельного проектирования впервые был разработан знаменитым французским математиком Гаспаром Монжем в 1779 году. В это время он был преподавателем военно-инженерной школы в городе Мезьере. Метод был настолько удобен и прост по сравнению со старыми способами черчения, что руководство школы его засекретило. Метод Монжа впервые был опубликован в 1794 году.

В дальнейшем, не оговаривая особо, будем предполагать, что все точки, прямые, плоскости и другие геометрические тела заданы в некотором трехмерном евклидовом пространстве.

Глава I

СВОЙСТВА ИЗОБРАЖЕНИЙ

§ 1. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКИХ ФИГУР

ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ

Рассмотрим некоторую плоскость и вектор a, который ей не параллелен.

Определение 1. Под параллельной проекцией точки М на плоскость в направлении вектора a будем понимать точку M пересечения этой плоскости с прямой, проходящей через M и параллельной вектору a (рис. 1).

Если в пространстве дано неко- Рис. 1 торое тело F, то множество параллельных проекций всех его точек на плоскость в направлении вектора a образуют параллельную проекцию F тела F на эту плоскость. Плоскость будем называть плоскостью проекции. Если вектор a перпендикулярен плоскости проекции, то параллельное проектирование называется ортогональным. В техническом черчении в основном используется ортогональное проектирование. Вектор a определяет направление параллельного проектирования. Ясно, что это направление может быть задано не только вектором, но и прямой, лучом или отрезком. Мы всегда будем считать, что направление проекции не параллельно плоскости, а проектируемые прямые, лучи и отрезки не параллельны направлению проектирования. Так как в настоящей главе мы будем рассматривать только параллельную проекцию, то слово «параллельное», если это не вызывает путаницы, будем опускать и говорить проектирование, проекция и т. п.

Сформулируем свойства параллельного проектирования.

1. Проекцией прямой служит прямая линия.

2. Параллельные прямые проектируются в параллельные или совпадающие прямые.

3. Отрезок AB проектируется в отрезок A B, где A и В — проекции его концов A и B.

8 Глава I. Свойства изображений

4. Сохраняется простое отношение точек.

5. Отрезки, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой (в дальнейшем параллельные отрезки), проектируются в параллельные отрезки.

6. Сохраняется отношение длин параллельных отрезков.

7. Сохраняется отношение сонаправленности или противоположной направленности направленных отрезков.

Рис. 2

Доказательства сформулированных свойств достаточно просты. Проверим свойство 4, остальные свойства докажите самостоятельно. Пусть A, B и C — точки, принадлежащие одной прямой l (рис. 2). Напомним, что под простым отношением (AB, C) = понимается число, удовлетворяющее соотношению AC = CB. Проведем через прямую l плоскость, параллельную вектору a, обозначим через l прямую пересечения плоскостей и. Тогда проекции A, В и С данных точек принадлежат прямой l. Исходя из свойства отношения отрезков, отсекаемых от двух прямых l и l плоскости параллельными прямыми АА, ВВ и СС, получим

AC AC =. Поэтому |(AB, C)| = |(A B, C )|. Также ясно,

CB CB что при параллельном проектировании сохраняется порядок точек на прямой. В данном случае точка B лежит между точками A и C, соответственно точка B лежит между A и С (рис. 2). Отсюда получим (AB, C) 0, (A B, C ) 0.

Таким образом, (AB, C) = (A B, C ). Утверждение доказано.

Как правило, пользуясь параллельным проектированием, мы изображаем на чертеже не саму параллельную проекцию пространственного тела, а фигуру, ей подобную. Действительно, если, например, ученику требуется решить задачу, в которой рассматривается куб со стороной 1 метр, то он § 1. Изображение плоских фигур 9 в тетради делает изображение куба меньших размеров, но подобный параллельной проекции данного. Введем определение.

Определение 2. Под изображением фигуры F на плоскости при параллельном проектировании будем понимать фигуру F1, подобную ее параллельной проекции F.

Плоскость будем называть плоскостью изображения.

На рисунке 3 представлены плоскость изображения, пространственная фигура F, ее параллельная проекция F и изображение F1 фигуры F.

Рис. 3

Рассмотрим следующую задачу. Даны две плоскости и. В плоскости расположена некоторая фигура F.

Плоскость параллельно проектируется на плоскость.

Требуется выяснить, какими свойствами будет обладать изображение F1 фигуры F на плоскости изображения.

Для решения этой задачи нам потребуется определить так называемое аффинное отображение одной плоскости на другую.

Определение 3. Пусть даны две плоскости и.

Аффинным отображением плоскости на плоскость называется взаимно однозначное отображение f:

плоскости на плоскость, при котором коллинеарные точки переходят в коллинеарные и сохраняется простое отношение точек.

Как мы видим, если плоскости и совпадают друг с другом, то аффинное отображение на представляет собой аффинное преобразование плоскости. Свойства этого преобразования были рассмотрены нами в главе «Геометрические преобразования» [2]. Нетрудно показать, что 10 Глава I. Свойства изображений свойства аффинного отображения, по сути, совпадают со свойствами аффинного преобразования. Перечислим их.

1. Неколлинеарные точки плоскости отображаются на неколлинеарные, в частности, аффинный репер 1) отображается на аффинный репер.

2. Прямая линия отображается в прямую, параллельные прямые в параллельные прямые.

3. Сохраняется отношение отрезков, лежащих на параллельных прямых или на одной прямой.

4. Если в плоскости дан аффинный репер R, а в плоскости аффинный репер R, то существует единственное аффинное отображение f:, при котором репер R отображается в R. Если при этом точка M плоскости имела в репере R координаты x и y, то ее образ f(M) будет иметь в репере R те же координаты x и y.

Проверьте эти утверждения самостоятельно по аналогии с доказательствами соответствующих свойств аффинных преобразований плоскости (см. [2, § 34]).

Пусть нам даны две плоскости и и фигуры F и F на этих плоскостях. Фигуры назовем аффинно эквивалентными, если существует аффинное отображение плоскости на плоскость, при котором F отображается на F. Пусть фигура F служит изображением фигуры F на плоскости изображения при некотором параллельном проектировании. Тогда, как следует из свойств подобия и параллельного проектирования, F и F аффинно эквивалентны. Действительно, при подобии и параллельном проектировании сохраняются как коллинеарность точек, так и их простые отношения. Поэтому эти же свойства инвариантны и при произведении отображений. Таким образом, произведение параллельного проектирования и подобии представляет собой аффинное отображение плоскости на.

В случае пересекающихся плоскостей справедливо обратное утверждение. Рассмотрим некоторое аффинное отображение f плоскости на плоскость. Будем предполагать, что данные плоскости пересекаются по некоторой прямой l (рис. 4). В плоскости выберем аффинный репер

1) Напомним, что под аффинным репером понимается упорядочен

–  –  –

R = (O1, O2, O3 ) таким образом, чтобы базисные точки O1 и O2 принадлежали прямой l. Пусть при аффинном отображении f репер R отобразится в репер R = (O1, O2, O3 ) плоскости. Из свойств подобий, изложенных в первой части курса геометрии (см. [2, § 32]) следует, что в плоскости существует такое преобразование подобия p, при котором треугольник O1 O2 O3 преобразуется в треугольник O1 O2 O, первые две вершины которого совпадают с вершинами репера R плоскости (см. рис. 4). Рассмотрим параллельное проектирование плоскости на плоскость в направлении вектора O3 O. При этом проектировании репер R отображается на репер R = (O1, O2, O ). При подобии p1, обратном к подобию p, репер R преобразуется в репер R = (O1, O2, O3 ). Так как произведение параллельного проектирования на подобие p1 является аффинным отображением плоскостей на, при котором репер R отображается в репер R, то из свойства 4 аффинных отображений следует, что оно совпадает с f. Итак, мы доказали теорему.

Теорема 1. Отображение плоскости на пересекающую ее плоскость является аффинным в том и только в том случае, когда оно совпадает с произведением параллельного проектирования первой плоскости на вторую и подобия второй плоскости.

Из доказанной теоремы вытекает важное следствие.

Следствие 1. Если и — пересекающиеся плоскости, то фигура F плоскости служит изображением фигуры 12 Глава I. Свойства изображений F плоскости в том и только в том случае, когда F и F аффинно эквивалентны.

Заметим, что теорема 1 не имеет места, если плоскости и параллельны. Проверьте это утверждение самостоятельно. В дальнейшем, не оговаривая особо, будем считать, что плоскость изображения не параллельна плоскости, на которой лежат проектируемые фигуры.

Доказанная теорема и следствие из нее позволит нам рассмотреть свойства изображений плоских фигур. Мы остановимся на изображениях многоугольников и круглых фигур, которые часто встречаются в практической работе учителя.

Как и ранее, рассмотрим плоскость и пересекающую ее плоскость изображения. Все рассматриваемые фигуры принадлежат, а их изображения лежат на плоскости.

1. Изображение треугольника. Из свойства 4 аффинных отображений следует, что любые два треугольника аффинно эквивалентны. Поэтому треугольник всегда изображается треугольником.

2. Изображение четырехугольника. Ясно, что четырехугольник изображается аффинно эквивалентным ему четырехугольником. Но в отличие от треугольников не любые два четырехугольники аффинно эквивалентны. В пособии [2, § 35] было доказано следующее утверждение.

Теорема 2. Даны два четырехугольника ABCD и A B C D, O и O — соответственно точки пересечения их диагоналей AC и BD, А С и В D.

Тогда эти четырехугольники аффинно эквивалентны в том и только в том случае, когда совпадают следующие простые отношения:

(AC, O) = (A C, O ), (BD, O) = (B D, O ). (1) Доказательство было проведено для случая аффинного преобразования плоскости. Его легко обобщить на случай аффинного отображения одной плоскости на другую (проведите эти рассуждения самостоятельно). Таким образом, два четырехугольника аффинно эквивалентны тогда и только тогда, когда точка пересечения их диагоналей делит эти диагонали в одном и том же отношении. На рисунке 5 изображены два аффинно эквивалентных четырехугольника ABCD и A B C D, для которых выполнено условие (1).

Из теоремы 2 вытекает ряд существенных следствий. Как известно, четырехугольник в том и только в том случае § 1. Изображение плоских фигур 13

Рис. 5

является параллелограммом, когда его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Поэтому параллелограмм изображается параллелограммом. Квадрат, прямоугольник и ромб аффинно эквивалентны параллелограмму, отсюда следует, что изображениями квадрата, ромба и прямоугольника также служит параллелограмм. Отмеченные следствия часто используются в практической работе учителя. Например, при изображении правильной четырехугольной пирамиды ее основание, которое является квадратом, на чертеже изображается параллелограммом, а центр основания, совпадающий с точкой пересечения высоты пирамиды и основания, — точкой пересечения диагоналей параллелограмма.

3. Изображение трапеции. Так как параллельные отрезки при аффинном отображении преобразуются в параллельные отрезки, отношение которых совпадает с отношением оригиналов, то трапеция изображается трапецией, отношение оснований которой такое же, как у исходной. В силу этого, заведомо выполнено условие (1), так как точка пересечения диагоналей трапеции делит эти диагонали на отрезки, пропорциональные ее основаниям.

4. Изображение произвольного n-угольника (n 4). Ясно, что n-угольник изображается аффинно эквивалентным ему n-угольником. Выясним требования, которым подчиняется такого рода изображение, на примере пятиугольника.

Пусть дан пятиугольник ABCDE (рис. 6). Тогда вершины A, B и C, как было показано выше, изображаются вершинами произвольного треугольника A, В и С. Из теоремы 2 следует, что точки M и М пересечения диаГлава I. Свойства изображений гоналей четырехугольников ABCE и А В С Е делят эти диагонали в одинаковых отношениях: (AC, M) = (A C, M ) и (BE, M) = (B E, M ). Поэтому для построения точки Е следует найти простые отношения (AC, M) и (BE, M), затем построить точку М так, чтобы выполнялось равенство (AC, M) = (A C, M ). Построив точку М, из соотношения (BE, M) = (B E, M ) можно определить точку Е. Аналогично строится изображение D вершины D.

Рис. 6

5. Изображение окружности. В пособии [2, § 34] было установлено, что окружность аффинно эквивалентна эллипсу. Поэтому из следствия теоремы 1 вытекает, что изображением окружности служит эллипс. Так как при аффинном отображении сохраняется простое отношение точек, то центр окружности изображается центром симметрии эллипса.

Как известно, множество середин всех хорд окружности, параллельных между собой, образуют ее диаметр, перпендикулярный этим хордам. Кривые второго порядка обладают похожим свойством. В [2] было доказано, что множество середин всех хорд кривой второго порядка, параллельных между собой и имеющих неасимптотическое направление, образуют прямую линию. Эта прямая называется диаметром, сопряженным данному направлению. На рисунке 7 изображены параллельные хорды M1 M2 и N1 N2 и сопряженный с ними диаметр d1. Ясно, что диаметр окружности, перпендикулярный хорде, проходит через ее середину, поэтому он сопряжен направлению этой хорды.

[...] Минимальные системные требования определяются соответствующими требованиями программы Adobe Reader версии не ниже 11-й для платформ Windows, Mac OS, Android, iOS, Windows Phone и BlackBerry; экран 10"

–  –  –

Подписано к использованию 27.01.15. Формат 125200 мм Издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний»

125167, Москва, проезд Аэропорта, д. 3 Телефон: (499) 157-5272 e-mail: binom@Lbz.ru, http://www.Lbz.ru Сергей Левонович Атанасян – профессор и за ведующий кафедрой геометрии математического факультета Московского педагогического универ ситета, доктор педагогических наук. Автор более 80 научных и научно методических работ. Область научных интересов – геометрия пространств с вы рожденными проективными метриками, инфор матизация образования и методика преподавания математики в высшей школе.

Владимир Григорьевич Покровский – доцент кафедры алгебры, геометрии и методики их пре подавания Института математики и информатики Московского городского педагогического универ ситета, кандидат физико математических наук.

Автор более 40 научных работ. Область научных интересов – комбинаторная геометрия.

Андрей Владимирович Ушаков – доцент ка федры высшей математики и методики препо давания математики Института математики, ин форматики и естественных наук Московского городского педагогического университета, кан дидат физико математических наук. Автор более 20 научных работ. Область научных интересов – общая топология.



 

Похожие работы:

«Рассмотрено на заседании «Согласовано» «Утверждаю» ШМО «Точных наук» Заместитель директора по УВР Директор МАОУ СОШ № 22 _/А.А.Плеханова / МАОУ СОШ № 22 /Г.Д. Потапкина/ Протокол № 1 от _ /Л.В. Котельникова/ Приказ № 242 от « 26 » августа 2015 г. «27» августа 2015г. «01» сентября 2015г. Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №22» г.Балаково Саратовской области РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по математике для обучающихся 5 классов, адаптированная учителем...»

«ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ от 17.06.2015 Рег. номер: 2742-1 (15.06.2015) Дисциплина: Компетентностный подход в высшем образовании: теория и практика реализации 44.04.01 Педагогическое образование: Преподаватель высшей школы/2 года 5 месяцев ОЗО;Учебный план: 44.04.01 Педагогическое образование: Преподаватель высшей школы/2 года ОДО Вид УМК: Электронное издание Инициатор: Огороднова Ольга Васильевна Автор: Огороднова Ольга Васильевна Кафедра: Кафедра общей и социальной педагогики УМК: Институт психологии...»

«Е.С. Королькова, И.Н. Фёдоров, С.А. Фёдорова Методическое пособие Рабочая тетрадь для учителя 6 КЛАСС Москва АКАДЕМКНИГА/УЧЕБНИК ПРЕДИСЛОВИЕ Методическое пособие входит в учебно-методиченной информации. Следовательно, данная часть ческий комплект, который состоит из примерной урока не должна сводиться к простой проверке осрабочей программы, учебника и рабочей тетради военного содержания в форме ответов на вопросы. для учащихся, выпущенных издательством «АкаРефлексия, взгляд...»

«Научно-методическая деятельность Цели работы методической службы: создать условия для научно-методического обеспечения роста профессиональной компетентности педагогов колледжа;развивать и повышать эффективность и качество освоения студентами профессиональных образовательных программ начального и среднего профессионального образования.Основные задачи методической службы: 1) организация изучения, анализ и реализация нормативных правовых документов, рекомендаций органов управления образования; 2)...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего образования «КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.П. АСТАФЬЕВА» (КГПУ им. В.П. Астафьева) ИНСТИТУТ ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ, ОФОРМЛЕНИЮ И ЗАЩИТЕ КУРСОВЫХ РАБОТ Направления подготовки: 44.03.02 Психолого-педагогическое образование 44.03.01 Педагогическое образование 37.01.03 Психология 38.03.01 Менеджмент Красноярск 2015...»

«Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Вешкаймская средняя общеобразовательная школа №2 имени Б.П.Зиновьева ПОЛОЖЕНИЕ о школьном методическом объединении ПРИНЯТО на педагогическом Совете Протокол от «28»августа 2015 №1 Положение о школьном методическом объединении 1. Общие положения.1.1. Школьное методическое объединение (далее ШМО) является основным структурным подразделением методической службы образовательного учреждения, осуществляющим проведение учебновоспитательной,...»

«Е.С. Королькова, И.Н. Фёдоров, С.А. Фёдорова Методическое пособие Рабочая тетрадь для учителя 5 КЛАСС Москва АКАДЕМКНИГА/УЧЕБНИК ПРЕДИСЛОВИЕ Рабочая тетрадь для учителя входит в учебно-метосения новых знаний с представлениями, которые дический комплект, который состоит из програмимелись ранее. Немаловажная задача последней мы учебника и рабочей тетради для учащихся, выстадии — выявление ошибок, совершенных в пропущенных издательством «Академкнига/Учебник»....»

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский педагогический государственный университет» Развитие научно-практического образования в старшей школе НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК В ДВУХ ТОМАХ Том 1. Развитие научно-практического образования в старшей школе Составитель – профессор А.С. Обухов Москва УДК 37.0 Развитие научно-практического образования в старшей школе. Том 1. Развитие научно-практического образования в старшей школе:...»

«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ И.П. Цыбулько, Е.В. Бузина, И.П. Васильевых, Ю.Н. Гостева, С.Л. Иванов МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года по РУССКОМУ ЯЗЫКУ Москва, 201 Единый государственный экзамен по русскому языку является обязательным экзаменом. В 2015 г. он проводился во всех субъектах Российской Федерации. Всего ЕГЭ по русскому языку в 2015 г. сдавали более 680 тыс. экзаменуемых. Задания...»

««СОГЛАСОВАНО» «ПРИНЯТО» «УТВЕРЖДЕНО» на заседании Методического совета на заседании Педагогического совета Государственное бюджетное общеобразовательное Государственного бюджетного общеобразовательного Государственного бюджетного общеобразовательного учреждение средняя общеобразовательная школа № 593 учреждения средней общеобразовательной школы № 593 учреждения средней общеобразовательной школы № 593 с углубленным изучением английского языка с углубленным изучением английского языка с...»







 
2016 www.metodichka.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Методички, методические указания, пособия»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.